Está pronto para aprender o que é e como calcular o máximo divisor comum?
Hoje nós vamos explicar tudo, usando vários exemplos para você entender bem o que é o MDC.
Vamos começar!?
Índice
O que é o máximo divisor comum (MDC)
Em matemática, o máximo divisor comum, ou MDC, é o maior número que divide de uma maneira exata dois ou mais números ao mesmo tempo. Como se trata do maior número, só levaremos em consideração os divisores positivos.
Em outras palavras, podemos dizer que o máximo divisor comum de dois números, por exemplo “A” e “B”, é o número mais elevado que divide ambos, tanto o número A quanto o número B.
Observe que o máximo divisor comum de 18 e 24 é 6, porque, como vimos, 6 é o maior dos divisores comuns de 18 e 24, e escrevemos MDC (18, 24) = 6
São tidos em conta os números cujas divisões são exatas, ou seja, nas quais o resto dá zero. Seria bom aproveitar este momento para revisar as divisões por um algarismo, e também para relembrar as partes que compõem uma divisão.
Vídeo sobre o máximo divisor comum
Com este vídeo vamos ver e entender muito bem o que é o MDC de dois números.
Este é somente um dos nossos mais de 100 tutoriais interativos, mas nesse caso em versão vídeo. Lembre que você pode assisti-lo sempre que precisar e compartilhá-lo se quiser.
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Usos do máximo divisor comum
MDC para simplificar frações
Simplificar frações é uma das funções do máximo divisor comum.
Por exemplo, para simplificar a fração 12/18, calcularemos primeiro o máximo divisor comum de 12 e 18, que é o 6.
Depois, temos que dividir o numerador e o denominador da fração inicial por 6 para obter a fração simplificada que vai dar 2/3.
MDC para calcular o mínimo múltiplo comum (MMC)
O máximo divisor comum também pode ser usado para calcular o mínimo múltiplo comum de dois números, o MMC.
Isto é assim porque o resultado do máximo divisor comum de dois números vezes o resultado do mínimo múltiplo comum (dos mesmos números) vai ser igual ao resultado da multiplicação desses dois números.
Vejamos isso com um exemplo: vimos antes que o MDC (12, 18) é igual a 6, como 12 × 18 = 216, o seu mínimo múltiplo comum tem que ser 36 porque 6 × 36 = 216.
Termos
Agora vamos explicar alguns conceitos usados para calcular o MDC de vários números, é importante aprendê-los para saber sempre do que estamos falando.
Divisor
O divisor de um número é o valor que divide o número em partes exatas, ou seja, obtendo resto igual a zero.
Veja este exemplo:
Primeiro vamos calcular os divisores de 15:
- 15 / 1 = 15, então, 1 e 15 são divisores de 15.
- 15 / 2 = 7, o resto é 1, então, o 2 não é divisor de 15.
- 15 / 3 = 5, então, 3 e 5 são divisores de 15.
- 15 / 4 = 3, o resto é 3, então, o 4 não é um divisor de 15.
Deveríamos dividir agora por 5, mas como ele já está na lista de divisores, finalizaremos o cálculo dos divisores deste número.
Então, os divisores de 15 são: 1, 3, 5 e 15.
Agora vamos calcular os divisores de 20:
- 20 / 1 = 20, então, 1 e 20 são divisores de 20.
- 20 / 2 = 10, então, 2 e 10 são divisores de 20.
- 20 / 3 = 6, o resto é 2, então, o 3 não é um divisor de 20.
- 20 / 4 = 5, então, 4 e 5 são divisores de 20.
Agora teríamos que dividir por 5, mas como já temos o 5 como um divisor, terminamos de calcular os divisores de 20.
Ou seja, os divisores 20 são: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Divisor comum
É um número que divide, ao mesmo tempo, dois ou mais números, ou seja, é um divisor comum desses números.
Continuaremos com o exemplo anterior, no qual calculamos os divisores de 15 e de 20, mas agora vamos determinar quais são os divisores comuns.
Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
Quais divisores 15 e 20 têm em comum?
Neste caso, observamos que os divisores comuns de 15 e 20 são 1 e 5.
Máximo divisor comum
Como vimos no início, o máximo divisor comum é o maior número entre os divisores comuns.
Vamos ver qual é o máximo divisor comum do exemplo acima, o MDC (15, 20).
Divisores de 15: 1, 3, 5 e 15
Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20
Agora você já sabe que os divisores comuns de 15 e 20 são o 1 e o 5, e desses dois números (1 e 5) deve escolher o maior, que é 5. Assim sendo, o máximo divisor comum de 15 e 20 é 5.
Como calcular o máximo divisor comum
Para saber qual é o máximo divisor comum de dois ou mais números existem vários métodos, vamos ver dois deles.
Método I
Este foi o método que usamos nos exemplos acima vistos, aqui devemos prestar atenção no que verdadeiramente significa máximo divisor comum.
- Escrevemos todos os divisores de cada número, e entre eles marcamos os divisores que têm em comum.
- O divisor maior será o MDC desses números.
A desvantagem deste método aparece quando um número é muito grande, pois serão muitos os divisores e escrever todos eles pode acabar sendo muito chato.
Por outro lado tem também vantagens, ou seja, às vezes não será necessário calcular nada: se pedirem o máximo divisor comum de três números e um destes números for divisor dos outros dois, esse vai ser o máximo divisor comum.
Vejamos um exemplo: queremos encontrar o máximo divisor comum de 36, 12, e 84, então, como 12 é divisor dos três números, não há nenhum divisor comum maior que ele.
Método II
Decomposição de fatores ou decomposição em números primos.
- Decompomos cada número em fatores primos.
- Depois, marcamos os fatores em comum.
- A seguir, em cada um dos comuns, escolhemos o fator com menor expoente.
- E, por último, multiplicamos os fatores escolhidos.
Vamos ver um exemplo:
Calculamos o MDC de 8 e 12.
Como você pode ver, os fatores comuns estão destacados, neste caso é o 2, mas você deve ter cuidado e prestar atenção sempre no menor expoente (2²), que é igual a 4.
Exemplos e exercícios
Vamos ver alguns exemplos utilizando os dois métodos antes explicados: o método 1 procurando os divisores de um número, e o método 2 realizando a decomposição em fatores para poder calcular o máximo divisor comum.
Calcular o MDC de 6 e 9 usando o método 1.
- Escrevemos todos os divisores de cada número: 6 e 9
- Indicamos todos os divisores em comum.
- Escolhemos o divisor comum maior.
Assim, o MDC de 6 e 9 é igual a 3
Calcular o MDC de 16 e 21 usando o método 2.
- Fatoramos os números (16 e 21).
- Escrevemos em fatores cada um dos números, o 16 e o 21.
- Observamos quais são os fatores em comum. Neste caso, como você pode ver, os números 16 e 21 não têm fatores em comum. Quando não houver fatores comuns entre os números, o máximo divisor comum será o 1.
MDC de 16 e 21 é igual a 1
Calcular o MDC de 14, 36 e 12 com o método 2.
- Decompomos os números em fatores primos.
- Escrevemos em fatores cada um dos números (14, 36 e 12).
- Escolhemos os fatores comuns entre os três números. Neste caso, o único fator comum entre 14, 36 e 12 é o 2.
- Entre os fatores comuns, pegamos o que tem menor expoente, neste caso, o menor expoente é o 2.
Sendo assim, o máximo divisor comum de 14, 36 e 12 é o 2.
Como você pode ver, aprender de uma forma divertida é muito mais fácil!
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Para continuar aprendendo:
- O que é o mínimo múltiplo comum?
- Subtração e Adição de frações
- O que é decomposição fatorial
- Como resolver divisões de 2 dígitos
- Como dividir por dois e três algarismos
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