Coordenadas cartesianas: o que são e para que são usadas

Você lembra que no jogo da batalha naval, quando queremos encontrar os navios de nosso adversário dizemos uma letra para a posição vertical e um número para a posição horizontal? Este é um claro exemplo de um dos usos das coordenadas cartesianas.

Coordenadas cartesianas é o nome dado ao sistema usado para a localização de um ponto no espaço. Na educação obrigatória estudamos as coordenadas cartesianas em espaços bidimensionais, ou seja, em planos, mas podemos encontrar coordenadas cartesianas em espaços de três ou mais dimensões.

O “sobrenome” das coordenadas cartesianas é uma homenagem ao filósofo e matemático René Descartes.

Um sistema de coordenadas cartesianas consiste em duas linhas retas perpendiculares graduadas que se chamam eixos de coordenadas. O eixo horizontal é geralmente referido como X e o eixo vertical é geralmente referido como Y, e estes dois eixos se cruzam em um ponto que se denomina origem das coordenadas, ou, simplesmente, O.

Os eixos das coordenadas também recebem outros nomes, o eixo X (horizontal) é a abcissa, e o eixo Y (vertical) é a ordenada.

Quando queremos saber as coordenadas de um determinado ponto, que será geralmente referido com letras maiúsculas P, Q, R ou A, B, C…, devemos saber que elas devem ser escritas nesta ordem:

(abscissa, ordenada)

Portanto, quando indicamos que um ponto P tem as coordenadas (3,5), estamos dizendo que este punto está sobre o 3 do eixo horizontal, e na altura 5 do eixo vertical.

Funcionamento do sistema de coordenadas cartesianas

• Uma medida horizontal: esquerda-direita, que vamos denominar X.

•  Uma medida vertical: acima-abaixo, que vamos denominar Y.

•  Um ponto de referência a partir do qual se começará a medir, ou seja, um ponto de origem, que se chama origem de coordenadas, O.

O ponto O se denomina origem de coordenadas, na imagem acima podemos ver que o planeta verde está no ponto do qual partem as linhas que marcam os dois eixos coordenados.

Vamos começar com a horizontal, esquerda-direita. Como você pode ver, os números começam na origem, onde vemos que o primeiro valor é zero, e vão aumentando conforme nos movemos para a direita.

Este é o eixo X das coordenadas, e quanto maior for o valor, mais à direita o ponto vai ficar. Assim sendo, 4 no eixo X fica 4 posições à direita da origem.

Temos também uma vertical, acima-abaixo. Como no eixo X, os valores começam na origem com zero e aumentam à medida que avançam, neste caso, para cima. É o eixo Y das coordenadas. Quanto mais alto o valor, mais acima ele vai ficar. Por exemplo, 5 fica cinco posições acima da origem.

Você conhece uma brincadeira na qual o objetivo é colocar o rabo no burro?

Se trata de um jogo no qual é preciso informar sobre a distância para a direita, ou para a esquerda, e também se está para cima ou para baixo, isso é exatamente o que temos que saber para poder localizar um ponto em um plano.

Dois números: um no eixo X e outro no eixo Y, com esta informação a localização será definida, o primeiro número indica a localização à direita e o segundo a localização para cima, e normalmente estes números são separados por uma vírgula e colocados entre parênteses, desta maneira: (X,Y).

Exemplos de coordenadas cartesianas

Agora vamos ver outro exemplo, mas ao contrário. Colocamos o objeto e temos que indicar as coordenadas para saber onde está localizado. Quais são as coordenadas para localizar a árvore amarela?

Podemos ver que a árvore está duas posições à direita da origem (eixo X) e 4 posições para cima (eixo Y). Primeiro escrevemos a coordenada do eixo X e, depois, a coordenada do eixo Y.

Uso das coordenadas

Veja que no sistema de coordenadas cartesianas em duas dimensões (plano) os eixos (X e Y) se cortam perpendicularmente no ponto de origem (O), desta maneira, dividem o plano em 4 partes:

Essas partes se denominam quadrantes, e se numeram de 1 a 4 com algarismos romanos e no sentido anti-horário, tomando a origem como o ponto central.

Primeiro quadrante

Até agora vimos apenas a origem ‘ O ‘ e o primeiro quadrante, no qual as coordenadas X e Y são sempre números positivos.

• X positivo significa que a posição é à direita da origem.
• Y positivo significa que está acima da origem.

O ponto amarelo está nas coordenadas (3,3), quer dizer, três posições à direita da origem e três acima.

Segundo quadrante

Neste quadrante aparece a primeira coordenada negativa, vamos considerar que os valores positivos indicam sempre quantas posições à direita ou acima da origem estão X e Y, respectivamente.

Da mesma forma, os valores negativos vão indicar as posições à esquerda ou para baixo dos eixos X e Y, partindo da origem.

Por exemplo, se a coordenada X tem o valor (-5) significa que ela está 5 posições à esquerda da origem, e se o Y tem valor (-1) significa que está uma posição abaixo da origem.

•  X negativo indica que a posição é à esquerda da origem.
•  Y positivo indica que está acima da origem.

Sendo assim, (X,Y) são (-,+).

No exemplo, o ponto verde está nas coordenadas (-3,1), ou seja, três posições à esquerda da origem e uma posição acima.

Terceiro quadrante

Aqui os dois valores são negativos.

• X negativo indica que a posição é à esquerda da origem.
• Y negativo indica que está abaixo da origem.

Assim sendo, os valores de (X,Y) serão (-,-).

O ponto vermelho está nas coordenadas (-2,-5), quer dizer, duas posições à esquerda da origem e cinco posições para baixo.

Quarto quadrante

O último quadrante está à direita e abaixo da origem. Os valores de X e Y serão positivos e negativos, respectivamente.

• X positivo indica que a posição é à direita da origem.
• Y negativo indica que está abaixo da origem.

Portanto, os valores de (X,Y) serão (+,-).

O ponto azul está nas coordenadas (4,-4), em outras palavras, quatro posições à direita da origem e quatro para baixo.

Resumindo, o valor positivo ou negativo de X e Y nas coordenadas indica a posição com respeito à origem:

• No eixo X, direção horizontal, um valor positivo representa uma posição à direita da origem. E um negativo será para a esquerda.
• No eixo Y, direção vertical, um valor positivo indica uma posição acima da origem. Um negativo abaixo da mesma.
• Se X tem valor zero, a posição das coordenadas não é será nem para a direita, nem para a esquerda da origem. Será em algum punto do eixo Y.
• Se Y tem valor zero, a posição das coordenadas não está nem acima, nem abaixo da origem. Será em algum lugar do eixo X.
• O, a origem, é a única posição onde ambos os valores são zero.

Portanto, sabendo os valores de (X,Y) podemos saber em qual quadrante essa posição está localizada, seguindo o seguinte esquema:

Exemplos de exercícios de coordenadas cartesianas do Smartick

Um deslocamento em coordenadas cartesianas tem três elementos:

1. A posição inicial: a coordenada na qual se começa.
2. O movimento: os deslocamentos que são realizados.
3. A posição final: a coordenada na qual o movimento termina depois do  movimento.

Coordenadas iniciais conhecidas e movimento simples com auxílio visual no primeiro quadrante

Nesses exercícios se proporciona a posição inicial e o movimento, neste caso, será de um só deslocamento. Usamos apenas o primeiro quadrante e pedimos a posição final depois de realizar o movimento.

Veja que nos primeiros exercícios proporcionamos uma ajuda visual, quer dizer, os eixos aparecem diferenciados por cores e as coordenadas dadas para estes eixos também vão com o mesmo código de cores.

Como são exercícios para crianças bem pequenas, em vez de colocarmos os números nas linhas (e os personagens da turma Smartick nas interseções das linhas), colocamos no centro da grade, assim é mais fácil visualizar, porém, o resultado é o mesmo.

Neste exemplo, colocamos a Eva nas coordenadas (4,2) e se desloca uma casinha para baixo. Como se move apenas no eixo Y, apenas a coordenada Y muda.

A posição final da Eva será (4,1).

Coordenadas iniciais conhecidas e vários movimentos com ajuda visual no primeiro quadrante

Vai ser igual que no caso anterior, porém, com uma diferença: o número de deslocamentos aumenta.

Este personagem se chama Leo, ele começou na posição (2,3) e se moveu três vezes para a direita e uma para cima. Se acompanharmos os movimentos dele na grade, vemos que a posição final será (5,4).

Coordenadas finais conhecidas e movimento com ajuda visual no primeiro quadrante

Agora, no lugar de pedir a posição final, pedimos a posição inicial, quer dizer, sabemos onde termina e os deslocamentos realizados, sendo assim, vamos calcular fazendo o percurso ao contrário.

Neste caso, o Max se moveu uma vez para a direita e acabou na posição (5,1), se seguirmos o movimento dele para trás (um quadrado para a esquerda) vamos descobrir que as coordenadas de início eram (4,1).

Ajuda numérica no primeiro quadrante

Noutros exercícios a criança deverá indicar a posição final ou inicial, mas, sem o apoio das cores para a identificação de cada coordenada.

Além disso, as coordenadas são agora pontos no plano, ou seja, já não são quadrados. Observe que, nesta imagem, o Otto não aparece no centro da grade, ele está na interseção de duas linhas.

Aqui o Otto começou na posição (3,4), e se moveu uma vez para a direita e duas vezes para cima, sendo assim, seguindo os deslocamentos, vemos que a posição final do Otto são as coordenadas (4,6).

Todos os quadrantes

Neste exemplo, podemos ver que se trata de um exercício muito parecido, mas usando todos os quadrantes.

A Zoe se moveu uma vez para a direita e duas vezes para cima, terminando no ponto (-3,3), neste caso, se fizermos o percurso ao contrário (uma para a esquerda e duas para baixo) veremos que as coordenadas de origem são (-2,1).

E, finalmente, aumentamos o tamanho da grade na qual o avatar pode se mover.

Se a Zoe começar na posição (6,-6) e se mover duas vezes para a esquerda, onde vai terminar?

Isso mesmo! Ela terminará nas coordenadas (4,-6).

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