Está na hora de aprender a diferenciar os números primos dos números compostos e, além disso, para você entender bem direitinho, vamos explicar tudo usando muitos exemplos.
Índice
O que são os números primos?
Os números primos são aqueles que só são divisíveis por eles mesmos e por 1, e se tentarmos dividi-los por qualquer outro número, o resultado não será inteiro, ou seja, se você tentar dividir um número primo por qualquer número diferente de 1 ou do próprio número, o resto não vai dar zero.
Tabela de números primos até 100
Vamos fazer juntos uma tabela com todos os números primos até 100.
Começaremos pelo 2: o 2 é um número primo, mas todos os múltiplos de 2 são números compostos, pois são divisíveis por 2, então riscamos da nossa tabela todos os múltiplos de 2.
O próximo número primo é o 3, como antes, podemos riscar todos os múltiplos de 3, pois também são números compostos.
O seguinte número primo é o 5, então riscamos todos os múltiplos de 5.
O próximo número primo é o 7, novamente, riscamos todos os múltiplos de 7.
O próximo número primo é o 11, como antes, riscamos todos os múltiplos de 11, que são 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, e 99. Todos estes números já estavam riscados, sendo assim, terminamos de riscar todos os números compostos da nossa tabela.
Esta é a nossa lista de números primos, do 1 até o 100. Você não precisa aprender de cor, mas é recomendável não esquecer os números menores, como o 2, 3, 5, 7, 11 e o 13.
Quantos números primos existem?
O matemático grego Eratóstenes (séc. III a. C.) inventou uma maneira simples de encontrar todos os números primos até um número específico, trata-se de um método denominado Crivo de Eratóstenes.
Observe que entre 1 e 100 há 25 números primos. Então, quantos números primos haverá no total?
Desde a antiguidade se sabe que eles são infinitos, por isso, é impossível fazer uma lista com todos. Foi Euclides quem primeiro provou que eram infinitos no século IV a. C, porém ele não conhecia o conceito de infinito, ele simplesmente afirmava que “há mais números primos do que qualquer quantidade proposta de números primos”, quer dizer, se você imaginar que são 100, serão mais, e se imaginar que são um milhão, também serão mais.
Tabela de números primos de 100 até 1.000
Estes são os números primos de 100 até 1.000.
Peço desculpas por não fazer uma tabela com todos os números, mas lembre-se: eles são infinitos! 😉
Problemas com números primos
Para você entender melhor, vamos explicar os números primos resolvendo o seguinte problema.
A Sara tem 6 balas e quer dividi-las com os amigos, mas não sabe muito bem entre quantos amigos pode fazê-lo para que todos recebam o mesmo número de balas, sem sobrar nenhuma. De quantas maneiras ela pode fazer isso?
Esta é a Sara e as 6 balas dela:
Como ela pode dividir as balas?
O mais fácil seria dar todas para uma só criança, isto é, dividir por 1. Como resultado essa criança receberia todas as 6 balas!
Outra opção pode ser dividir as balas entre 2 crianças. Como 6 dividido por 2 dá 3, cada uma delas receberia 3 balas!
Vejamos o que vai acontecer com o próximo número, o 3. Se dividirmos 6 balas entre 3 crianças também temos uma divisão exata e vai dar 2 balas para cada criança:
Continuando com os números, vemos que não temos divisões exatas por 4 e 5, mas por 6 sim.
Como 6 dividido por 6 dá 1, podemos dar balas para 6 amigos, dando uma bala para cada um.
Vamos ver um resumo com toda essa informação: temos 6 balas e podemos dividir (sendo uma divisão exata) entre 1, 2, 3 e 6 amigos. Ou seja, podemos dividir o número 6, dando resto 0, por 1, 2, 3 e 6. Esses números se chamam divisores do 6.
Agora vamos ver o que acontece com outro número, por exemplo, com o 7.
Desta vez, a Sara tem 7 balas e quer dividir com os amigos, mas ela não sabe muito bem entre quantas crianças ela pode fazer isso, dando o mesmo número de balas para todas, sem sobrar nenhuma. De quantas maneiras ela poderá fazer isso?
Olha só! Que sortudo, o Sérgio ficou com todas as balas!
Será que podemos fazer esta divisão de outras maneiras?
Vejamos! Não podemos dividir o 7 nem por 2, nem por 3, nem por 4, nem por 5, nem por 6, então só nos resta o 7!
A Sara pode dividir as balas entre 7 crianças, dando uma para cada uma:
Então, o 7 só pode ser dividido por 1 e por 7, ou seja, os seus únicos divisores são o 1 e o 7. Este tipo de números são chamamos de números primos.
Há outros números primos? Claro que sim! Vamos procurar outro!
- O 4? Não! Porque os seus divisores são 1, 2 e 4.
- O 5? Sim! Porque os seus divisores são 1 e 5.
- O 8? Não! Porque os seus divisores são 1, 2, 4 e 8.
Resumindo, um número é primo se tiver apenas dois divisores: o 1 e ele mesmo.
Agora você já pode procurar muitos números primos!
Como saber se um número é primo?
Preste muita atenção!!! Vamos ensinar um truque para saber se um número é primo ou não, sem ter que encontrar os divisores, de uma forma muito mais lúdica e que, ao mesmo tempo, também vai indicar os seus divisores (se tiver).
Escolhemos um número qualquer, por exemplo, o 16.
Para saber se é um número primo ou não, vamos usar uma tabela, muito parecida com os cartões Montessori para multiplicar. E pegamos tantas bolinhas quanto o número que escolhemos, neste caso 16 bolinhas.
Já temos tudo, agora devemos colocar as bolinhas na tabela e, começando pelo primeiro buraquinho, tentaremos formar um retângulo. Os números que delimitam o retângulo serão divisores desse número.
Caso apenas consigamos formar um retângulo com o mesmo número que estamos usando e o 1, será um número primo.
Por exemplo, neste caso, colocamos 8 bolinhas na primeira linha e outras 8 na segunda. Como você pode ver, nós formamos um retângulo, e vemos que o 8 e o 2 são divisores do número 16. Portanto, o número 16 não é um número primo porque, como já sabemos, os números primos são divisíveis apenas por eles mesmos e por 1.
Vamos tentar agora com outro número, o 7, por exemplo.
Como podemos ver, não conseguimos fazer um retângulo completo, faltaria uma bolinha. Não sendo possível formar um retângulo, podemos afirmar que o número 7 não tem divisores, exceto ele mesmo e o 1, como vemos na imagem abaixo.
Portanto, o número 7 é um número primo!
Tente fazer isso com qualquer outro número, sempre funciona! Você pode usar um caderno a quadros e procurar os retângulos possíveis usando esse número de quadradinhos.
O 1 é primo?
Há quem diga que sim, visto que o 1 só pode ser dividido por 1 e por ele mesmo, mas em matemática o número 1 não se considera primo por ter somente um único divisor.
Na verdade, o critério de “um número inteiro positivo é primo se tiver exatamente dois divisores positivos” é usado para excluir o 1 da lista de números primos. Não é por implicância, o caso é que se o número 1 fosse considerado primo, muitas propriedades matemáticas teriam que ser ditas de outra forma.
Então, o 1 é composto?
Também não, já que não se pode colocar como produto de primos. O número 1 não é nem primo nem composto. E, antes de você perguntar, o zero também não é primo nem composto, mas isso é porque todas as considerações que estamos fazendo são para números positivos, ou seja, maiores que zero.
Para que servem os números primos. Exemplos na natureza
Os números primos são a base da aritmética, abaixo você verá um exemplo que demonstra a sua importância, não apenas no cálculo aritmético, mas também na natureza.
O que significa que os números primos são a base da aritmética?
Isto é assim porque qualquer número é formado pelo produto único de uma série desses números.
Acredita-se que eles vêm sendo estudados há cerca de 20.000 anos, quando algum dos nossos antepassados gravou no osso de Ishango uma quaterna de números primos (11, 13, 17 e 19). Mas se você achar que isso é uma mera coincidência, confirma-se que os antigos egípcios já trabalhavam com números primos há 4.000 anos.
Além disso, a natureza conhece muito bem os números primos e algumas espécies foram capazes de descobri-los ao longo de sua evolução e aproveitá-los para sua sobrevivência.
Estou me referindo a várias espécies de cigarras como a Magicicada septendecium, que vive na América do Norte. Essa espécie de cigarras estabeleceu o seu ciclo de reprodução por volta dos 13 ou 17 anos, nem 12, nem 14, nem 15, nem 16 ou 18, exatamente a cada 13 ou 17 anos. Isso permite evitar predadores com ciclos reprodutivos também periódicos; vamos imaginar um predador com um ciclo de 4 anos.
Se o ciclo de vida da cigarra fosse de 12 anos ou 14 anos, coincidiria com seu predador com frequência, muito mais que sendo de 13 ou 17 anos. Exatamente 2 vezes em 100 anos, por outro lado, da outra forma, coincidiriam em 11 ciclos, comprometendo a evolução da espécie.
A segurança das Comunicações Eletrônicas se baseia nos números primos, quer dizer, cada mensagem codificada que se envia pela internet (redes de mensagens, compras ou E-Banking) tem associado um número bem grande, que é muito difícil de saber se é primo ou não. O receptor tem um dos seus divisores e por isso pode descodificá-la. Assim, os números primos são fundamentais para ter privacidade em nossas comunicações.
O que são os números compostos?
São aqueles números que além de serem divisíveis por eles mesmos e pela unidade, também são divisíveis por outros números.
Vamos ver um exemplo de um número primo e um exemplo de um número composto:
O 11 pode ser escrito como a multiplicação de 1 x 11, mas não pode ser escrito como nenhuma outra multiplicação de números naturais. Só tem o 1 e o 11 como divisores, sendo assim, é um número primo.
O 12 pode ser escrito como a multiplicação de 1 x 12, e também pode ser escrito como a multiplicação de 3 x 4 e de 2 x 6. Como 12 é divisível por mais números que pelo 1 e por ele mesmo, 12 é um número composto.
Divisores de um número
O divisor de um número é o valor que divide o número em partes exatas, ou seja, quando o resto dá 0.
Por exemplo, vamos calcular os divisores de 24.
Começamos dividindo pelos números menores, desde o 1:
- 24 / 1 = 24. Tanto o 1 como o 24 são seus divisores.
- 24 / 2 = 12. O 2 e o 12 são seus divisores.
- 24 / 3 = 8. O 3 e o 8 são seus divisores.
- 24 / 4 = 6. O 4 e o 6 são seus divisores.
- 24 / 5 = 4. Não é uma divisão exata, pois o resto dá 4, portanto, 5 não é um divisor.
O próximo número é o 6, mas como já temos o 6 como um divisor de 24, concluímos o cálculo dos divisores de 24.
Vídeo sobre fatoração em números primos
Para saber mais, assista o seguinte vídeo sobre fatoração em números primos. Com ele você também aprenderá o conceito de fatoração utilizando a tabela de Montessori.
Este é um de nossos mais de 100 tutoriais interativos, mas aqui ele vem em vídeo, portanto deixa de ser interativo 🙁. Mesmo assim, tem a vantagem de poder ser visto sempre que você quiser e compartilhado.
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Para continuar aprendendo:
- O que é decomposição fatorial
- Máximo divisor comum ou MDC
- O que é o mínimo múltiplo comum?
- Multiplicação de frações
- Subtração e Adição de frações
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Todos com um mesmo objetivo, criar o melhor conteúdo matemático possível.
Gostei muito de aprender sobre os números primos e também gostaria de aprender sobre os números compostos